
\prob{005F}{四整数最大和}

若$a, b, c, d$是整数，$b > 0$，且满足

\[ \begin{cases}
  a + b = c \\
  b + c = d \\
  c + d = a \\
\end{cases} \]

求$a + b + c + d$的最大值。
\problabels{yellow/数论, green/最值问题}

\ans{$a + b + c + d$的最大值为$-5$。}

\subsection{同一变量表示}

基本思路：将$a, c, d$用$b$表示，然后利用$b$是正整数这一条件求解最大值。

解关于$a, c, d$的三元一次方程组

\[ \begin{cases}
  a + b = c \\
  b + c = d \\
  c + d = a \\
\end{cases} \]

得

\[ \begin{cases}
  a = -3b \\
  c = -2b \\
  d = -b \\
\end{cases} \]

故

\begin{align*}
  a + b + c + d &= (-3b) + (-2b) + b + (-b) \\
  &= -5b \\
\end{align*}

而$b$为正整数，故$b$最小时$a + b + c + d$最大，此时$b = 1$，$a + b + c + d = -5$。

综上，$a + b + c + d$的最大值为$-5$。
